有限数学示例

$y = \sqrt{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x} - \sqrt{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \geq 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

把不等式转换成方程。

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x = 0$

解题步骤 2.2

从 $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 3 x = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{2} + x (3 x) + 3 x = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 3 = 0$

解题步骤 2.2.4

从 $x \cdot x^{2} + x (3 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{2} + 3 x) + x \cdot 3 = 0$

解题步骤 2.2.5

从 $x (x^{2} + 3 x) + x \cdot 3$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{2} + 3 x + 3) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x^{2} + 3 x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x^{2} + 3 x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 3 x + 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 3$ 和 $c = 3$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3

化简。

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解题步骤 2.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.3.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.3

从 $9$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.4.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.3

从 $9$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.5

从 $i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.6

从 $- 1 (3) - (- i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.5.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.3

从 $9$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.5

从 $- i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.6

从 $- 1 (3) - (i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $x (x^{2} + 3 x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.7

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \geq 0$

解题步骤 3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

解题步骤 4

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[0, 0]$

集合符号：

${y | y = 0}$

解题步骤 5

确定定义域和值域。

定义域： $[0, \infty), {x | x \geq 0}$

值域： $[0, 0], {y | y = 0}$

解题步骤 6

有限数学 示例

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